% Тут используется класс, установленный на сервере Papeeria. На случай, если
% текст понадобится редактировать где-то в другом месте, рядом лежит файл matmex-diploma-custom.cls
% который в момент своего создания был идентичен классу, установленному на сервере.
% Для того, чтобы им воспользоваться, замените matmex-diploma на matmex-diploma-custom
% Если вы работаете исключительно в Papeeria то мы настоятельно рекомендуем пользоваться
% классом matmex-diploma, поскольку он будет автоматически обновляться по мере внесения корректив
%
\documentclass{matmex-diploma-custom}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\renewcommand\refname{Список цитируемой литературы}
\newtheorem{mydef}{Определение}[section]
\newtheorem{myth}{Теорема}[section]
\newtheorem{myz}{Замечание}[section]
\newtheorem{myst}{Утверждение}[section]
\newtheorem{mylm}{Лемма}[section]
% Год, город, название университета и факультета предопределены,
% но можно и поменять.
% Если англоязычная титульная страница не нужна, то ее можно просто удалить.
\filltitle{ru}{
    chair              = {Кафедра Прикладной Кибернетики},
    title              = {Алгебраическая аппроксимация аттракторов эквивариантных систем дифференциальных уравнений},
    % Здесь указывается тип работы. Возможные значения:
    %   coursework - Курсовая работа
    %   diploma - Диплом специалиста
    %   master - Диплом магистра
    %   bachelor - Диплом бакалавра
    type               = {diploma},
    position           = {студента},
    group              = 524,
    author             = {Рожков Григорий Сергеевич},
    supervisorPosition = {д.\,ф.-м.\,н., профессор},
    supervisor         = {Райтманн Ф.},
    reviewerPosition   = {аспирант},
    reviewer           = {Попов С.\,А.},
    chairHeadPosition  = {д.\,ф.-м.\,н., профессор},
    chairHead          = {Леонов Г.\,А.},
%   university         = {Санкт-Петербургский Государственный Университет},
%   faculty            = {Математико-механический факультет},
%   city               = {Санкт-Петербург},
%   year               = {2013}
}
\filltitle{en}{
    chair              = {Applied Cybernetics},
    title              = {Algebraic approximation of equivariant differential equation attractors},
    author             = {Grigorii Rozhkov},
    supervisorPosition = {professor},
    supervisor         = {Volker Reitmann},
    reviewerPosition   = {postgraduate},
    reviewer           = {Sergei Popov},
    chairHeadPosition  = {professor},
    chairHead          = {Gennady Leonov},
}
\maketitle
\tableofcontents
% У введения нет номера главы
\section*{Введение}
В данной дипломной работе рассматривается класс эквивариантных систем дифференциальных уравнений, которые можно интерпретировать как 
системы, заданные на плоском цилиндре или торе, и алгебраические аппроксимации их глобальных аттракторов~\cite{book:LRS}. 
Алгебраические аппроксимации аттракторов часто бывают полезны в случаях, когда не представляется возможным построить инерциальное многообразие~\cite{article:inertialmanifolds}. 
Их можно использовать для стратификации аттракторов.
Хорошо известны результаты Ч. Фояша и Р. Темама~\cite{article:original}, 
которые рассмотрели алгебраические аппроксимации аттракторов систем, заданных на линейном фазовом пространстве $\mathbb{R}^d$. Ключевая идея 
получения аппроксимаций аттрактора состоит в итеративном построении последовательности приближений при увеличивающейся точности полученных аппроксимаций.
Оригинальный метод был исследован и применен для систем Лоренца и Ресслера~\cite{article:Malykh}.
В данной работе рассматриваются системы на цилиндрическом фазовом пространством, которое имеет свою специфику и для которого непосредственное применение метода 
Фояша-Темама из \cite{article:original, article:Malykh} невозможно. \\
Изучается класс эквивариантных систем, которые можно интерпретировать как системы на цилиндрическом фазовом пространстве, 
а значит и сама система и полученные аппроксимации должны отражать специальные свойства фазового пространства. Так, в качестве аналога стандартных полиномов на $\mathbb{R}^d$ 
рассматриваются тригонометрические полиномы, в которых наряду с координатными функциями фигурируют тригонометрические функции от них. Аналогично изменяются 
требования для правой части системы, предлагается ее разложение в конечный ряд по степеням тригонометрических функций одной части координат с полиномами от другой части координат в 
качестве коэффициентов. \\
Данные условия позволяют перенести аппроксимационный процесс Фояша-Темама на цилиндрическое фазовое пространство. Реализован алгоритм построения аппроксимаций, 
иллюстрирующий теоретические результаты работы, и применен для системы, описывающей переходные процессы в системе Джозефсоновских контактов.\\
Структура дальнейшей работы следующая: в первой главе даны основные понятия о динамических системах на метрическом пространстве, алгебраических 
множествах и эквивариантных системах дифференциальных уравнений; во второй главе излагается метод Фояша-Темама для систем, описанный в \cite{article:original, article:Malykh},
представлены результаты экспериментов; в третьей главе метод Фояша-Темама переносится на случай цилиндрического фазового пространства, представлены результаты экспериментов, 
иллюстрирующие процесс аппроксимации аттрактора.

\section{Основные понятия}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\subsection{Динамические системы на метрическом пространстве}
Введем основные понятия теории динамических систем, которые будут использоваться в дальнейшем, используем при этом книгу~\cite{book:Reitmann}.\\
Пусть $(M, \rho)$ -- метрическое пространство. 
Введем для произвольных подмножеств $Z_1$ и $Z_2$ пространства $M$ полурасстояние по Хаусдорфу, которое обозначим как $\text{dist}(Z_1, Z_2)$, при этом
\begin{equation}
 \text{dist}(Z_1, Z_2) \coloneqq \sup_{z_1 \in Z_1} \inf_{z_2 \in Z_2} \rho(z_1, z_2). \nonumber
\end{equation}
Введем множество значений времени $\mathbb{T} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{R}_+, \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_+\}$.
\begin{mydef}
 Пусть $\{\varphi^t\}_{t \in \mathbb{T}}$ -- семейство отображений $\varphi^t \colon M \rightarrow M$. 
 Пара $\left(\{\varphi ^ t\}_{t\in \mathbb{T}}, (M, \rho)\right)$ есть динамическая система на метрическом пространстве $(M, \rho)$, если выполнено:
 \begin{enumerate}
  \item $\varphi^0 = id_M$ -- тождественное отображение на $M$;
  \item $\varphi^{t+s} = \varphi^t \circ \varphi^s$ для любых моментов времени $t, s \in \mathbb{T}$;
  \item Если $\mathbb{T} \in {\mathbb{R}, \mathbb{R}_+}$, то $\varphi^{(\cdot)}(\cdot) \colon \mathbb{T} \times M \rightarrow M$ -- непрерывное отображение; 
  если же $\mathbb{T}~\in~\{\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_+\}$, то для любого $t\in \mathbb{T}\; \varphi^t(\cdot) \colon M \rightarrow$ M является непрерывным отображением.
 \end{enumerate}

\end{mydef}

Рассмотрим на пространстве $(M, \rho)$ динамическую систему
\begin{equation}
 \label{ДС}
 \left(\{\varphi ^ t\}_{t\in \mathbb{T}}, (M, \rho)\right),
\end{equation}
где $ \;\; \mathbb{T} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{R}_+, \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_+\}$.
\begin{mydef}
 Множество $Z \subset M$ называется инвариантным для динамической системы~(\ref{ДС}), если
 \begin{equation}
  \varphi ^t (Z) = Z \;\; \forall t \in \mathbb{T}. \nonumber
 \end{equation}
\end{mydef}

\begin{mydef}
 Множество $Z \subset M$ называется притягивающим для множества $W \subset M$ относительно динамической системы~(\ref{ДС}), если
 \begin{equation}
  \lim_{t \rightarrow +\infty} \textup{dist}(\varphi ^t(p), Z) = 0 \;\; \forall p \in W.\nonumber
 \end{equation}
 Если $W=M$ и $Z$ -- притягивающее для $W$ относительно динамической системы~(\ref{ДС}), то $Z$ называется глобально притягивающим относительно~(\ref{ДС}).
\end{mydef}

\begin{mydef}
Множество $Z \subset M$ называется глобально $\mathcal{B}$-притягивающим для множества $W \subset M$ относительно динамической системы~(\ref{ДС}), если
\begin{equation}
 \lim_{t \rightarrow +\infty} \textup{dist}(\varphi ^t(B), Z) = 0 \;\; \forall B \subset W ,\nonumber
\end{equation}
где множество $\mathcal{B}$ ограничено.
Если $W=M$ и $Z$ -- притягивающее для $W$ относительно динамической системы~(\ref{ДС}), то $Z$ называется глобально $\mathcal{B}$-притягивающим относительно~(\ref{ДС}).
\end{mydef}

\begin{mydef}
 Множество $\mathcal{A}(W)\subset M$ $(\mathcal{A}(W)\subset M)$ называется аттрактором ($\mathcal{B}$-аттрактором) для $W$ относительно~(\ref{ДС}), если оно обладает 
 следующими свойствами:
 \begin{enumerate}
  \item $\mathcal{A}(W)$ ограничено и замкнуто;
  \item $\mathcal{A}(W)$ инвариантно;
  \item $\mathcal{A}(W)$ является притягивающим ($\mathcal{B}$-притягивающим) для $W$ относительно~(\ref{ДС}), причем предполагается, что $intW \neq \emptyset$.
 \end{enumerate}
\end{mydef}

\begin{mydef}
 Множество $\mathcal{A}(W)$ называется глобальным аттрактором (глобальным $\mathcal{B}$-аттрактором) относительно~(\ref{ДС}), если $\mathcal{A}(W)$ 
 есть аттрактор ($\mathcal{B}$-аттрактор) для $W=M$ относительно~(\ref{ДС}).
\end{mydef}

Введем теперь понятие диссипативной динамической системы.

\begin{mydef}
Динамическая система~(\ref{ДС}) называется диссипативной ($\mathcal{B}$-диссипативной), если~(\ref{ДС}) имеет компактное притягивающее ($\mathcal{B}$-притягивающее)
множество $\mathcal{K}$.
\end{mydef}

\begin{mydef}
 Множество $Z\subset M$ называется поглощающим ($\mathcal{B}$-поглощающим), если
 \begin{equation*}
  \forall p \in M \exists t_0 = t_0(p) \colon \forall t \ge t_0, \; t \in \mathbb{T} \; \varphi^t(p)\in Z.
 \end{equation*}
\end{mydef}


Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\begin{equation}
 \label{порождающее уравнение}
 \frac{du}{dt} = f(u(t)),
\end{equation}
где $t \in \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}^d$, а $f \colon \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ -- аналитическая функция. Тогда по теореме Пикара для любого $u_0 \in \mathbb{R}^d$
существует единственное максимальное решение $u(\cdot, u_0) \colon (a_{u_0}, b_{u_0}) \rightarrow \mathbb{R}^d$, для которого $u(0, u_0) = u_0$ и 
$0 \in (a_{u_0}, b_{u_0})$.
Для таких систем в книге~\cite{book:Reitmann} доказана следующая теорема:
\begin{myth}
 \label{диссипативность обычная теорема}
 Пусть существует $C^1$-гладкая функция $V \colon \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ со свойствами:
 \begin{enumerate}
  \item $V(u) \rightarrow \infty$ при $||u||\rightarrow \infty$;
  \item Существуют числа $R>0$ и $\kappa > 0$ такие, что для любого решения $u(\cdot, u_0)$ уравнения~(\ref{порождающее уравнение}) из условия 
  $||u(t, u_0)|| > R$ следует, что
  \begin{equation}
   \frac{d}{dt} V(u(t, u_0)) \le -\kappa.
  \end{equation}
 \end{enumerate}
 Тогда:
 \begin{enumerate}
  \item Любое решение $u(\cdot, u_0)$ уравнения~(\ref{порождающее уравнение}) существует по крайней мере на $[0, \infty)$;
  \item Уравнение~(\ref{порождающее уравнение}) порождает динамическую систему
  \begin{equation}
   \label{КДС}
   (\{\varphi^t\}_{t\in\mathbb{R}_+}, (\mathbb{R}^d, ||\cdot||)),
  \end{equation}
  где $\varphi^t(u_0) = u(t, u_0) \forall t \ge 0 \; \forall u_0 \in \mathbb{R}^d$;
  \item Пусть $\eta > 0$ -- такое число, что $\mathcal{K} \coloneqq \{u\in\mathbb{R}^d | V(u) < \eta\} \supset \{u \in \mathbb{R}^d | ||u|| \le R\}$; 
  тогда $\mathcal{K}$ -- компактное поглощающее множество относительно~(\ref{КДС}).
 \end{enumerate}
\end{myth}
Свяжем теперь существование глобального $\mathcal{B}$-аттрактора и диссипативность динамической системы.
\begin{myth}
 \label{диссипативность=>B-диссипативность}
 Пусть уравнение (\ref{порождающее уравнение}) порождает динамическую систему~(\ref{КДС}), которая является диссипативной. Тогда 
 динамическая система~(\ref{КДС}) является $\mathcal{B}$-диссипативной.
\end{myth}
\begin{myth}
 \label{существование аттрактора у диссипативной системы}
 Пусть динамическая система~(\ref{ДС}) $\mathcal{B}$-диссипативна, т.е. существует \\ $\mathcal{B}$-притягивающее компактное множество $\mathcal{K}$. 
 Тогда динамическая система~(\ref{ДС}) имеет глобальный $\mathcal{B}$-аттрактор
 \begin{equation*}
  \mathcal{A}(M) \coloneqq \cap_{t\in\mathbb{T}_+} \overline{\cup_{\tau \ge t, \tau \in \mathbb{T}_+} \varphi^{\tau}(\mathcal{K})}.
 \end{equation*}
\end{myth}
Доказательства теорем приведены в книге~\cite{book:Reitmann}.
Заметим, что последняя теорема верна для всех динамических систем, определенных на метрическом пространстве.

\subsection{Алгебраические множества}
Для аппроксимации глобальных $\mathcal{B}$-аттракторов динамических систем в данной работе используются алгебраические множества. Приведем соответствующие 
стандартные определения.
\newline
Пусть $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ -- поле, $\mathbb{K}^d$ -- линейное пространство над $\mathbb{K}$, 
$\mathbb{K}[z_1, z_2, \dots , z_d]$ -- кольцо всех полиномов над $\mathbb{K}^d$ со значениями в $\mathbb{K}$.
\newline
Рассмотрим мультииндекс $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_d) \in \mathbb{N}_0^d$, тогда для $z = (z_1, z_2, \dots , z_d)$ 
\begin{equation}
 z^{\alpha} \coloneqq z_1^{\alpha_1}z_2^{\alpha_2} \dots z_d^{\alpha_d}.\nonumber
\end{equation}
Введя длину мультииндекса
\begin{equation}
 |\alpha| \coloneqq \sum_{i=1}^d \alpha_i,   \nonumber
\end{equation}
можем получить следующую форму записи для полинома $\phi \in \mathbb{K}[z_1, z_2, \dots , z_d]$:
\begin{equation}
 \phi(z) = \sum_{|\alpha| \le m} a_{\alpha} z^{\alpha}  \;\; \forall z \in \mathbb{K}^d,\nonumber
\end{equation}
где $a_{\alpha} \in \mathbb{K}, \; m \in \mathbb{N}_0 $.
\begin{mydef}
 Пусть $\mathbb{V}$ -- конечномерное линейное пространство. Подмножество $S \in \mathbb{V}$ называется алгебраическим, если его можно представить в виде
 \begin{equation}
  \{ u \in \mathbb{V} | P_i(u) =0, i = 1, \dots, m  \},   \nonumber
 \end{equation}
 где $m \in \mathbb{N}$, $P_i$, $i=1,\dots m$ -- полиномы.
\end{mydef}
Введем также некоторые понятия для мультииндексов, которые понадобятся нам в следующих главах.
\begin{mydef}
 Говорят, что мультииндекс $\alpha \in \mathbb{N}_0^d$ меньше либо равен мультииндексу $\beta \in \mathbb{N}_0^d$, и записывают $\alpha \le \beta$, если 
 \begin{equation*}
  \alpha_i \le \beta_i \;\;\; \forall i\colon 1\le i \le d. 
 \end{equation*}
\end{mydef}
\begin{mydef}
 Если мультииндекс $\alpha \in \mathbb{N}_0^d$ меньше либо равен мультииндексу $\beta \in \mathbb{N}_0^d$, мультииндекс $\delta \in \mathbb{N}_0^d$, 
 $\delta \coloneqq \beta - \alpha$ определяется следующим образом:
 \begin{equation*}
  \delta_i \coloneqq \beta_i - \alpha_i \;\;\; \forall i\colon 1\le i \le d.
 \end{equation*}
\end{mydef}



\subsection{Эквивариантные системы}
В данной работе рассмотрены эквивариантные системы дифференциальных уравнений. Приведем соответствующие понятия и определения, ссылаясь в основном на~\cite{book:Leonov, book:Reitmann}.
\newline
Пусть $\Gamma$ -- группа, действующая на пространство $\mathbb{R}^d$.
\begin{mydef}
 Система~(\ref{порождающее уравнение}) называется эквивариантной относительно группы $\Gamma$, если $\forall u \in \mathbb{R}^d$ 
 $\;\forall \gamma \in \Gamma$
 \begin{equation}
  \label{эквивариантность}
  f(\gamma \cdot u) = f(u).  
 \end{equation}
\end{mydef}

В дальнейшем рассмотрении будут использоваться группы $\Gamma \subset \mathbb{R}^d$, действующие на пространство $\mathbb{R}^d$ сдвигом: $\gamma \cdot u = \gamma + u$. 
Для этого рассмотрим в качестве группы $\Gamma$ дискретную группу
\begin{equation}
 \label{представление группы}
 \Gamma = \left\{u = \sum_{j=1}^l k_j \gamma_j \; \mid \; k_j \in \mathbb{Z} \right\},
\end{equation}
где $\gamma_1, \gamma_2, \dots \gamma_l \in \mathbb{R}^d$  -- линейно независимые вектора. Рассмотрим теперь фактор-группу $\mathbb{R}^d / \Gamma$, элементами
которой являются классы вычетов $[u] \in \mathbb{R}^d / \Gamma$. Они определяются следующим образом:
\begin{equation*}
 [u] = \{u + \gamma \; | \; \gamma \in \Gamma\}.
\end{equation*}
Определим так называемую плоскую метрику
\begin{equation*}
 \rho([u], [v]) = \inf_{\substack{y\in[u] \\ z \in [v]}}|y-z|, \;\; u,v \in \mathbb{R}^d.
\end{equation*}

Из условия~(\ref{эквивариантность}) и вида группы $\Gamma$~(\ref{представление группы}) вытекает следующее очевидное свойство 
решений системы~(\ref{порождающее уравнение}):
\begin{myst}
 Если $u(t, u_0)$ -- решение системы~(\ref{порождающее уравнение}), то
 \begin{equation*}
  u(t, u_0) + k\gamma_j, \; \; \; \forall k \in \mathbb{Z},\;\; \forall j \colon 1 \le j \le l
 \end{equation*}
 является решением системы~(\ref{порождающее уравнение}) с начальными данными $u_0 + k\gamma_j$.
\end{myst}

Из сформулированного выше утверждения следует, что введенное таким образом метрическое пространство $\mathbb{R}^d / \Gamma$ является фазовым пространством 
для динамической системы~(\ref{порождающее уравнение}) при условии~(\ref{эквивариантность}) и при группе $\Gamma$ в виде~(\ref{представление группы}). 
\begin{mydef}
 Метрическое пространство $\mathbb{R}^d/\Gamma$ с введенной на нем плоской метрикой называют плоским цилиндром в случае $l < d$ и плоским тором в случае $l=d$.
\end{mydef}
Таким образом эквивариантные системы дифференциальных уравнений с введенной выше группой $\Gamma$ можно рассмаривать как системы, заданные на плоском цилиндре 
или плоском торе.

Приведем теперь аналог теоремы~(\ref{диссипативность обычная теорема}) для эквивариантных систем, данный в~\cite{book:LRS, book:Leonov}. 
Для этого сначала введем понятие стационарного множества:
\begin{mydef}
 Будем говорить, что решение $u(t)$ системы~(\ref{порождающее уравнение}) при $t \rightarrow +\infty$ стремится к стационарному множеству $\Lambda$, если
 \begin{equation}
  \lim_{t\rightarrow +\infty} \inf_{z\in\Lambda} |z-u(t)| = 0.\nonumber
 \end{equation}

\end{mydef}

\begin{myth}
 \label{диссипативность модифицированная теорема}
 Пусть существует непрерывная функция $V\colon \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ такая, что выполняются следующие условия:
 \begin{enumerate}
  \item $V(u + \gamma) = V(u)$, $\forall u \in \mathbb{R}^d$, $\forall \gamma \in \Gamma$;
  \item $V(u) + \sum_{j=1}^l (\gamma_j^*u)^2 \rightarrow \infty$ при $|u| \rightarrow \infty$;
  \item Для любого $u_0 \in \mathbb{R}^d$ функция $V(u(t, u_0))$ (где $u(t, u_0)$-- решение системы~(\ref{порождающее уравнение}))является невозрастающей;
  \item Если $V(u(t)) \equiv V(u(0))$, то $u(t)$ является состоянием равновесия.
 \end{enumerate}
 Тогда любое решение $u(t, u_0)$ при $t\rightarrow +\infty$ стремится к стационарному множеству системы~(\ref{порождающее уравнение}), т.е. множество стационарных точек есть глобально притягивающее множество.
\end{myth}

Заметим, что доказательство теоремы~(\ref{существование аттрактора у диссипативной системы}), данное в \cite{article:original} верно и для случая, 
когда $M=\mathbb{R}^d/\Gamma$.
Таким образом с помощью теорем~(\ref{диссипативность=>B-диссипативность}), (\ref{диссипативность модифицированная теорема}) и (\ref{существование аттрактора у диссипативной системы}) 
можно получить достаточные условия существования глобального $\mathcal{B}$-аттрактора эквивариантной системы дифференциальных уравнений.
\section{Случай тривиального действия группы}
\subsection{Общие определения}
В этом разделе рассмотрим аппроксимационный процесс Фояша-Темама, предложенный Ч. Фояшем и Р. Темамом в статье~\cite{article:original}. Фояш и Темам рассмотрели частный
случай построения алгебраических аппроксимаций для эквивариантных систем с непрерывным временем, а именно ими был рассмотрен случай
\begin{displaymath}
 \Gamma = \{0\}.
\end{displaymath}
Действие группы на пространство $\mathbb{R}^d$ в таком случае тривиально, а значит
\begin{displaymath}
 \mathbb{R}^d / \Gamma = \mathbb{R}^d.
\end{displaymath}

Будем рассматривать дифференциальные уравнения вида
\begin{equation}
 \label{уравнение1}
 \dot u(t) = F(u(t)),
\end{equation}
где $F$ -- гладкая функция, действующая из $\mathbb{R}^d$ в $\mathbb{R}^d$, а $u(t) = (u_1(t), \cdots, u_n(t))$ -- функция из $\mathbb{R}$ (или какого-то 
интервала на вещественной прямой) в $\mathbb{R}^d$. Естественным образом $\dot u = du/dt$.
\newline
Полагается, что для любого $u_0 \in \mathbb{R}^d$ имеется решение задачи Коши для дифференциального уравнения~(\ref{уравнение1}) с начальными данными
\begin{displaymath}
u(0)=u_0,
\end{displaymath}
определенное на всей положительной полуоси. 
\newline
Далее рассмотрим предложенный в статье~\cite{article:original} аппроксимационный процесс.
\subsection{Комплексификация решения}
Для дальнейшего изучения предложенной системы проведем ее комплексификацию, заключающуюся в расширении ее области определения на небольшую полоску комплексной плоскости. 
Ради простоты ограничим класс рассматриваемых уравнений следующим:
\begin{equation}
 \label{уравнение для фояша-темама}
 \dot u + Au + R(u) = 0,
\end{equation}
где $A$ -- симметричная положительно определенная матрица, а
\begin{equation*}
 R(u) = R_0 + R_1(u) + R_2(u, u),
\end{equation*}
где $R_0$ -- вектор в пространстве $\mathbb{R}^d$, $R_1$ -- линейный оператор на $\mathbb{R}^d$, а $R_2$ -- билинейный. Многие классические диссипативные 
дифферениальные уравнения могут быть представлены в таком виде, в том числе и уравнения Лоренца и Ресслера. 
\newline
Для дальнейшего расширения класса рассматриваемых уравнений можно рассматривать $R$ в следующем виде
\begin{equation*}
 R(u) = \sum_{k=0}^K R_k(u),
\end{equation*}
где
\begin{equation*}
 R_k(u) = R_k(\underbrace{u, \dots, u}_{k\text{ раз}}),
\end{equation*}

но в данной работе ограничимся 
двумя операторами.
\newline
Непрерывность $R_1$ и $R_2$ обеспечивается существованием следующих констант $c_1$ и $c_2$:
\begin{displaymath}
|R_1(u)|\le c_1|u| \:\forall u\in\mathbb{R}^d, \: |R_2(u, v)| \le c_2|u|\cdot|v| \:\forall u,v \in \mathbb{R}^d.
\end{displaymath}

Проведем теперь процедуру комплексификации. Так как функция $R$ является аналитической функцией переменной $u$, изначальное уравнение с начальными условиями $u(0)=u_0$ обладает 
решением $u(\zeta)$, которое определено в окрестности вещественной полуоси на комплексной плоскости, а именно в множестве $\Omega$, заданном соотношением
\begin{equation}
 \label{компл1}
 \max\{-\delta_0, -Re \zeta\}\le \text{Im } \zeta\le \min\{\delta_0, Re \zeta\}.
\end{equation}
Можно показать, что это решение аналитично в данной области (для какого-то $\delta_0$) и ограничено:
\begin{equation}
 \label{компл2}
 |u(\zeta)|\le M_0, \forall \zeta \in \Omega.
\end{equation}
Отсюда имеем
\begin{equation}
 \label{ограниченность К}
 |Ru(\zeta)|\le K_0 =|R_0|+c_1M_0 + c_2M_0^2, \; \;\forall \zeta \in \Omega.
\end{equation}
Рассмотрим теперь какую-нибудь точку на аттракторе $u_*\in\mathbb{A}$. Известно, что $u_*$ принадлежит некоторой орбите $u=u(t), \forall t\in\mathbb{R}$, поэтому, 
не умаляя общности, можно заключить:
\begin{displaymath}
u_*=u(0)
\end{displaymath}
Как показано выше, функция $t \rightarrow u(t)$ может быть расширена на часть комплексной плоскости по аналитичности. Интегрируя исходное уравнение, имеем:
\begin{displaymath}
u(0) = e^{tA}u(t)-\int_t^0 e^{\tau A}R(u(\tau))d\tau.
\end{displaymath}
Устремляя $t\rightarrow -\infty$ и учитывая ограниченность $u$, получаем
\begin{equation}
 \label{выражение для u(0)}
 u(0) = - \int_{-\infty}^0 e^{\tau A}R(u(\tau))d\tau.
\end{equation}
\subsection{Процедура аппроксимации}
Обозначим за $\Lambda$ какое-нибудь собственное значение матрицы $A$. В силу положительной определенности матрицы все ее собственные числа вещественны. 
Рассмотрим $Q$ - проектор $\mathbb{R}^d$ на подпространство, натянутое на собственные вектора матрицы $A$, отвечающие собственным числам, 
превышающим либо равным $\Lambda$.
\newline
Обозначим
\begin{displaymath}
q \coloneqq Qu.
\end{displaymath}
Спроецировав начальное уравнение с помощью проектора $Q$, получим:
\begin{displaymath}
\frac{dq}{dt} + Aq + QR(u)=0.
\end{displaymath}
Здесь использована коммутативность проекторов с линейными операторами, а именно тот факт, что
\begin{equation*}
 QAu = AQu = Aq.
\end{equation*}
Усилим положительность матрицы $A$ коэффициентом $k$, который в будущем сможем варьировать.
\begin{equation*}
\frac{dq}{dt} = (A+kI)q -kq + QR(u)=0.
\end{equation*}
А теперь, проинтегрировав полученное уравнение по вещественной оси времени, получим аналог формулы~(\ref{выражение для u(0)}):
\begin{equation}
 \label{выражение для q(0)}
 q(0) = -\int_{-\infty}^0 e^{\tau(A+kI)Q}(QR(u(\tau)) - kq(\tau))d\tau.
\end{equation}
Теперь наша задача состоит в том, чтобы приблизить правую часть этого равенства какой-либо простой алгебраической функцией, 
так мы сможем аппроксимировать конкретную точку на аттракторе вместе с ее окрестностью.
\newline
Для этого разобьем интеграл из правой части формулы~(\ref{выражение для q(0)}) на два других интеграла, 
один по промежутку $(-\infty, -\delta)$, а другой по оставшемуся $(-\delta, 0)$. 
Рассмотрим и оценим первый из них.
\begin{displaymath}
\left|-\int_{-\infty}^{-\delta} e^{\tau(A+kI)Q}(QR(u(\tau)) - kq(\tau))d\tau\right| \le \left|\int_{-\infty}^{-\delta}e^{\tau(\Lambda+k)}(K_0+kM_0)d\tau\right|
\le
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\le (\Lambda+k)^{-1}(K_0 +kM_0)e^{-\delta(\Lambda+k)}.
\end{displaymath}
Здесь использована операторная оценка $e^{\tau(A+kI)Q}$, а так же условия на ограниченность функции $R$ на комплексном участке $\Omega$. 
\newline
Заметим, что теперь интеграл оценен сверху значением, которое мы можем сделать сколь угодно маленьким, выбирая соответствующим образом $k$. 
А значит, можно считать
\begin{equation}
 \label{приближенное значение q(0)}
 q(0)\approx -\int_{-\delta}^0 e^{\tau(A+kI)Q}(QR(u(\tau)) - kq(\tau))d\tau.
\end{equation}
Продолжим оценивать этот интеграл. Вспомним теперь об аналитичности функции $u$ и разложим ее в ряд:
\begin{displaymath}
u(\tau) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau^n}{n!}u^{(n)}(0),
\end{displaymath}
разложение верно в окрестности $|\tau| < \delta_0$. Соответственно нам надо рассматривать $\delta < \delta_0$. Рассмотрев теперь частичные суммы
\begin{displaymath}
\tilde{u}_N(\tau)=\sum_{n=0}^{N}\frac{\tau^n}{n!}u^{(n)}(0),
\end{displaymath}
можно легко сделать вывод о том, что величины $\tilde{u}_n \coloneqq u^{(n)}(0)$ являются алгебраическими выражениями от $\tilde{u}_0=u(0)$. 
Действительно, дифференцируя исходное уравнение и зная предыдущее 
соотношение, можно построить алгебраическую функцию, связывающую $\tilde{u}_0$ и $\tilde{u}_n$.
\newline
Аналогично можно поступить с величинами $\tilde{f}_n = f^{(n)}(0) \coloneqq R(u(\tau))^{(n)}(0)$, а в силу того, что $\tilde{f}_0$ 
линейно выражается через $\tilde{u}_0$ с помощью исходного уравнения, 
получаем, что $\tilde{f}_n$ тоже являются алгебраическими выражениями от $\tilde{u}_0$.
\newline
Таким образом мы теперь научились приближать функции $u(\tau)$ и $f(\tau)$ алгебраическими величинами. Запишем это следующим образом:
\begin{multline}
\label{интегралы}
-\int_{-\delta}^0 e^{\tau(A+kI)Q}(QR(u(\tau)) - kq(\tau))d\tau = -\int_{-\delta}^0 e^{\tau(A+kI)Q}Q(f(\tau) - ku(\tau))d\tau = \\
= -\int_{-\delta}^0 e^{\tau(A+kI)Q}Q(\tilde{f}_N(\tau) - k\tilde{u}_N(\tau))d\tau -\int_{-\delta}^0 e^{\tau(A+kI)Q}Q(f(\tau) - \tilde{f}_N(\tau) + k(\tilde{u}_N(\tau) - u(\tau)))d\tau.
\end{multline}
Второй интеграл получившегося выражения можно сделать сколь угодно маленьким, выбрав подходящие значения для $N$ и $k$.
\newline
Запишем теперь первый интеграл выражения~(\ref{интегралы}) в следующем виде:
\begin{displaymath}
-\int_{-\delta}^0 e^{\tau(A+kI)Q}Q(\tilde{f}_N(\tau) - k\tilde{u}_N(\tau))d\tau = \sum_{n=0}^{N}S_nQ(f^{(n)}(0) - ku^{(n)}(0)),
\end{displaymath}
где
\begin{displaymath}
S_n = -\int_{-\delta}^{0}e^{\tau(A+kI)Q}\frac{\tau^n}{n!}d\tau.
\end{displaymath}
Проинтегрировав по частям, получаем:
\begin{displaymath}
S_n = (-1)^{n+1}((A+kI)Q)^{-n-1} + e^{-\delta(A+kI)Q}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\frac{\delta^{n-j}}{(n-j)!}((A+kI)Q)^{-j-1}.
\end{displaymath}
Заметим, что это выражение легко вычислить с помощью компьютера.
\newline
Рассмотрим теперь $\tilde{u}_n$ и $\tilde{f}_n$, для них нам надо предоставить полиномиальную зависимость от $\tilde{u}_0$.
Дифференцируя исходное уравнение, можно записать:
\begin{displaymath}
\tilde{u}_1 = -A\tilde{u}_0 - R(\tilde{u}_0)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\tilde{u}_2 = -A\tilde{u}_1 - R_1(\tilde{u}_1) - R_2(\tilde{u}_1, \tilde{u}_0) - R_2(\tilde{u}_0, \tilde{u}_1)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\tilde{u}_3 = -A\tilde{u}_2 - R_1(\tilde{u}_2) - R_2(\tilde{u}_2, \tilde{u}_0) - 2R_2(\tilde{u}_1, \tilde{u}_1) - R_2(\tilde{u}_0, \tilde{u}_2)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\cdots
\end{displaymath}
Далее зависимость очевидна: в $R_1$ необходимо передать предыдущее вычисленное значение, а коэффициенты при $R_2$ распределены по биномиальному закону.
Аналогично для $\tilde{f}_n$ имеем
\begin{displaymath}
\tilde{f}_0 = R(\tilde{u}_0)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\tilde{f}_1 = R_1(\tilde{u}_1) + R_2(\tilde{u}_1, \tilde{u}_0) + R_2(\tilde{u}_0, \tilde{u}_1)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\tilde{f}_2 = R_1(\tilde{u}_2) + R_2(\tilde{u}_2, \tilde{u}_0) + 2R_2(\tilde{u}_1, \tilde{u}_1) + R2(\tilde{u}_0, \tilde{u}_2)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\cdots
\end{displaymath}
Виды самих многочленов можно получить с помощью символьных вычислений, однако сами записи получаются очень громоздкими. 
\newline
Ну и наконец можно записать полученное выражение в виде 
\begin{equation}
\label{JJ}
\sum_{n=0}^{N}S_nQ(f^{(n)}(0) - ku^{(n)}(0)) = \sum_{n=0}^N J_n(\tilde{u}_0),
\end{equation}

где
\begin{equation}
\label{JJJ}
J_n(\tilde{u}_0) = S_nQ(\tilde{f}_n-k\tilde{u}_n).
\end{equation}

Корректность и сходимость вышеуказанных допущений и процедур устанавливает теорема.
\newline
\begin{myth} 
\label{original th}
Пусть у динамической системы, порожденной дифференциальным уравнением
(\ref{уравнение для фояша-темама}) есть компактный аттрактор $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^d$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ 
существуют $k$ и $N$ такие, что
\begin{displaymath}
\left|Qu_* - \sum_{n=0}^N J_n(u_*)\right| \le \varepsilon, \:\: \forall u_* \in \mathcal{A}.
\end{displaymath}
\end{myth}

Полное доказательство теоремы приведено в~\cite{article:original}. Таким образом получена аппроксимация аттрактора $\mathcal{A}$ 
алгебраическим множеством
\begin{equation*}
 \{u \in \mathbb{R}^d | Qu - \sum_{n=0}^N J_n(u) = 0\}.
\end{equation*}
Проанализировав доказательство, можно заметить, что в нем не используется свойство притяжения аттрактором траекторий вблизи себя, а только его 
компактность и инвариантность, а значит теорема верна и для систем, обладающих инвариантным множеством. 
\newline
Данный метод, а также результаты экспериментов, приведенные далее, опубликованы в статье \cite{article:Malykh}.
\subsection{Результаты экспериментов. Система Лоренца}
Система Лоренца и ее аттрактор хороши изучены в литературе \cite{book:Reitmann}. 
Выглядит система Лоренца следующим образом:
\begin{equation}
 \label{лоренц}
 \left\{
 \begin{aligned}
 & \dot x + \sigma x - \sigma y = 0,\\
 & \dot y + y + xz = 0,\\
 & \dot z + bz - xy + br = 0.\\
 \end{aligned}
 \right.
\end{equation}
Классическими параметрами, при которых динамическая система, порожденная системой уравнений~(\ref{лоренц}), имеет аттрактор, 
являются $\sigma=10, b=\frac83,r=28$.
\begin{myz}
В самой статье~\cite{article:original} приведен пример построения подобных аппроксимирующих множеств для аттрактора Лоренца. 
К сожалению, в нем допущена ошибка при вычислении самого первого многочлена. 
В самом деле, на стр. 176 авторы переписывают уравнение (4.4), которое выглядит как
\begin{displaymath}
\xi = I_0(u), \: \xi=x-y
\end{displaymath}
в виде
\begin{displaymath}
(1+s_0k)\xi+s_0y+s_0(\xi+y)z=0
\end{displaymath}
используя тот факт, что
\begin{displaymath}
I_0(u)=J_0(u)=-s_0(y+k\xi)-s_0(\xi+y)z
\end{displaymath}
и это действительно верно, однако заменяя в переписанном тождестве (4.4) статьи~\cite{article:original} переменную $\xi$ на $x-y$, авторы получают уравнение
\begin{displaymath}
(1+s_0k)x+(1+s_0(k-1))y+s_0zk=0,
\end{displaymath}
в то время как подстановка на самом деле дает
\begin{displaymath}
(1+s_0k)(x-y)+s_0y+s_0(x-y+y)z=(1+s_0k)x-(1+s_0(k-1))y+s_0xz=0,
\end{displaymath}
а в силу того, что все последующие значения $I_k$ могут использовать полученное выражение, которое, как легко убедиться, 
 неверно, остальные полученные авторами аппроксимации тоже могут быть ошибочными.
\end{myz}
Поэтому рассмотрим пример с системой Лоренца подробнее.
\newline
Используя новую переменную $\xi=x-y$ перепишем исходную систему~(\ref{лоренц}) в виде
$$ \left\{
\begin{aligned}
& \dot \xi + \sigma \xi - (\xi+y) z = 0,\\
& \dot y + y + xz = 0,\\
& \dot z + bz - xy + br = 0.\\
\end{aligned}
\right. $$
Матрица $A$ в таком случае будет иметь вид
\begin{displaymath}
A=\begin{pmatrix} \sigma & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix},
\end{displaymath}
в качестве $\Lambda$ возьмем $\sigma=10$, соответственно проектор станет проектором на первую координату. Очевидно
\begin{displaymath}
R_0=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ br \end{pmatrix},\:\: R_1(u) = \begin{pmatrix} -y\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\:\: R_2(u) = \begin{pmatrix} -(\xi+y)z\\ (\xi+y)z\\ -(\xi+y)z \end{pmatrix},
\end{displaymath}
где $u = (\xi, y, z)$.
Далее авторы строят первые несколько многочленов, аппроксимирующие аттрактор, но сейчас это проще сделать с помощью символьных вычислений,
потому что, например, 4-й аппроксимирующий многочлен 
выглядит следующим образом:
\newline
$2.18818489952786e-6*x**4*z- 4.67396296298131e-5*x**3*z + 4.37636980124986e-7*x**3 - 7.28068798880474e-5*x**2*y*z - 
0.000133478199909963*x**2*z**2 + 0.000288522355679525*x**2*z - 6.85339514006909e-6*x**2 + 0.00108556579174468*x*y*z - 
1.21344799977137e-5*x*y + 0.00184887676061694*x*z**2 - 0.000395500496268794*x*z + 2.88018422094719*x + 0.000201873622858768*y**2*z + 
0.000471038453671001*y*z**2 - 0.00393509359586936*y*z - 2.00095289791991*y + 0.000269164830809965*z**3 - 0.00632665966225158*z**2 - 
2.00148278581976*z + 2.00975966491338e-5$.
\newline
В рамках данной работы была написана программа на $Matlab$, генерирующая полиномы для аппроксимации и строящая искомые аппроксимационные поверхности.

На рисунках 1-6 представлены первые несколько аппроксимаций, полученных для системы Лоренца. 
Видно, что с увеличением $n$ аппроксимирующее множество становится более сложным и имеет все больше точек пересечения с аттрактором, что позволяет ему точнее аппроксимировать аттрактор.
\begin{figure}[!ph]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/lorenz/lori0_.jpg}
\caption{Аппроксимация 0}
\includegraphics[scale=0.45]{images/lorenz/lori1_.jpg}
\caption{Аппроксимация 1}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/lorenz/lori2_.jpg}
\caption{Аппроксимация 2}
\includegraphics[scale=0.45]{images/lorenz/lori3_.jpg}
\caption{Аппроксимация 3}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/lorenz/lori4_.jpg}
\caption{Аппроксимация 4}
\includegraphics[scale=0.45]{images/lorenz/lori5_.jpg}
\caption{Аппроксимация 5}
\end{figure}
\newpage
\subsection{Результаты экспериментов.  Система Ресслера}
В качестве практического применения данного алгоритма была выбрана также система Ресслера. Однако 
у этой системы есть только инвариантное множество, которое часто называют аттрактором, но аттрактором в смысле Определения 1.4 
оно не является в силу того, что в любой окрестности этого множества есть траектории, уходящие на бесконечность, это показано в статье~\cite{article:rossler}. 
Построим аппроксимацию инвариантного множества системы Ресслера, которая описывается системой дифференциальных уравнений
\begin{equation*}
\label{ресслер}
 \left\{
 \begin{aligned}
 & \dot x + y + z = 0,\\
 & \dot y - x - ay = 0,\\
 & \dot z - b - z(x-c) = 0.\\
 \end{aligned}
 \right. 
\end{equation*}
В качестве параметров взяты стандартные $a=b=0.2$, $c=5.7$. 
Перепишем исходную систему в следующем виде:
$$ \left\{
\begin{aligned}
& \xi' + 6\xi -7.64\eta-b-z\frac{\xi-\eta-z}{-0.44}-1.74z = 0,\\
& \eta'+\eta-a\frac{\xi-z-1.44\eta}{-0.44}+z=0,\\
& z' - b - z\frac{\xi-\eta-z}{-0.44} + zc=0.\\
\end{aligned}
\right. $$
При этом $\xi=-1.44x+y-z$, $\eta=y-x$.
Зато 
\begin{displaymath}
A=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5.7 \end{pmatrix},
\end{displaymath}
а
\begin{displaymath}
R_0=\begin{pmatrix} -0.2\\ 0\\ -0.2 \end{pmatrix},\:\: R_1(u) = \begin{pmatrix} -7.64\eta-1.74z\\ -ay+z\\ 0 \end{pmatrix},\:\: R_2(u) = \begin{pmatrix} -z\frac{\xi-\eta-z}{-0.44}\\ 0\\ -z\frac{\xi-\eta-z}{-0.44} \end{pmatrix},
\end{displaymath}
Далее с помощью программы на $Matlab$ из предыдущего пункта были сгенерированы первые 11 полиномов, после чего для каждого посчитали нулевые поверхности.
Начальные данные $k=0, \Lambda=6, \delta_0=10^{-6}$. На рисунках 7-12 представлены первые несколько аппроксимаций, полученных для системы Ресслера. 
Видно, что, как и в предыдущем примере, с увеличением $n$ аппроксимирующее множество становится более сложным и имеет все больше точек пересечения с аттрактором.
\begin{figure}[!ph]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/ressler/i0surf_.jpg}
\caption{Аппроксимация 0}
\includegraphics[scale=0.45]{images/ressler/i2surf_.jpg}
\caption{Аппроксимация 2}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/ressler/i4surf_.jpg}
\caption{Аппроксимация 4}
\includegraphics[scale=0.45]{images/ressler/i6surf_.jpg}
\caption{Аппроксимация 6}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/ressler/i8surf_.jpg}
\caption{Аппроксимация 8}
\includegraphics[scale=0.45]{images/ressler/i10surf_.jpg}
\caption{Аппроксимация 10}
\end{figure}
\newpage
\section{Случай нетривиального действия группы}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\subsection{Модификация метода Фояша-Темама}
В этой главе рассмотрим случай нетривиального действия группы $\Gamma$ на пространство $\mathbb{R}^d$.
Как и в предыдущей главе, рассматриваются дифференциальные уравнения вида
\begin{equation}
 \label{исходная система}
 \dot u (t) = F(u(t)),
\end{equation}
где $t\in \mathbb{R}$, $u(t) = (u_1(t), u_2(t), \dots , u_d(t))$ -- функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^d$, а $F$ -- эквивариантная вещественная 
аналитическая функция, из $\mathbb{R}^d$ в $\mathbb{R}^d$:
\begin{equation}
 \label{эквивариантность2}
 F(\gamma \cdot x) = F(x), \; \forall x \in \mathbb{R}^d \; \forall \gamma \in \Gamma \text,
\end{equation}
где $\Gamma$ -- группа, действующая на пространство $\mathbb{R}^d$.
Для простоты в качестве группы $\Gamma$ будем рассматривать следующую группу:
\begin{equation}
 \label{группа}
 \Gamma = \left\{ \sum_{i=d-l+1}^{d}2\pi k_i o_i\right\}, \; k_i \in \mathbb{Z},
\end{equation}
где $l \in \mathbb{N}$, а $o_i$ -- орта, соответствующая $i$-му направлению в $d$-мерном пространстве. 
Таким образом группа $\Gamma$ действует на пространство $\mathbb{R}^d$ сдвигом на $2\pi$ по последним $l$ координатам.
Аналогично предыдущей главе полагаем, что для любого $u_0 \in \mathbb{R}^d$  решение дифференциального уравнения~(\ref{исходная система}) с начальными данными 
\begin{equation}
 u(0) = u_0\nonumber
\end{equation}
однозначно определено на всей положительной полуоси.
\newline
Ограничим класс рассматриваемых уравнений следующим:
\begin{equation}
 \label{рассматриваемые функции} 
 \dot u + Au + g(u) = 0,
\end{equation}
где $A$ -- симметричная матрица размера $d \times d$, у которой $m$ положительных собственных чисел и $d-m = l$ нулевых, а
\begin{equation*}
g(u) = g(u_1, \dots , u_d) = (g_1(u), \dots, g_d(u)),
\end{equation*}
при этом
\begin{equation*}
g(u_1, \dots , u_i + 2\pi, \dots , u_d) = g(u_1, \dots, u_i, \dots, u_d) \;\forall \; i > m.
\end{equation*}
В качестве координатных функций $g_r(u)$ рассмотрим следующие функции:
\begin{equation}
\label{координатные функции}
(g_r(u)) = \sum_{\substack{\alpha\in\mathbb{N}_0^{2d-2m} \\
                           |\alpha| \le \Upsilon}}
P_{\alpha, r}(u_1, \dots u_m) \prod_{i = m + 1} ^ {d} \left((\sin u_i)^{\alpha_{i, 1}} (\cos u_i)^{\alpha_{i, 2}}\right), 
\end{equation}
где $P_{\alpha, r}(u_1, \dots u_m)$ -- многочлен от переменных $u_1,  \dots u_m$, $\Upsilon \in \mathbb{N}_0$, $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{2d-2m})$ -- мультииндекс, а 
\begin{equation*}
\alpha_{i,j} \coloneqq \alpha_{2(i-m-1)+j}, \;\; m+1\le i \le d, \; 1 \le j \le 2.
\end{equation*}
Многие известные эквивариантные системы дифференциальных уравнений можно рассматривать в таком виде. 
Частный случай разложения~(\ref{координатные функции}) приведен в книге \cite{book:Kalitin}.
Далее целью работы является получение аппроксимации аттрактора динамической системы, порожденной уравнением (\ref{исходная система}), в виде алгебраического 
множества. Полиномы при этом рассматриваются относительно переменных $u_1, \dots, u_d, \sin(u_{m+1}), \cos(u_{m+1}), \dots, \sin(u_{d}), \cos(u_{d})$.
\newline
Аналогично предыдущей главе можно провести процедуру комплексификации, получив выражения (\ref{компл1}) и (\ref{компл2}) и соответствующие им константы $\delta_0$ и 
$M_0$. Получим теперь аналог для константы $K_0$ из выражения (\ref{ограниченность К}):
\begin{equation*}
 |g_r(u(\xi))| \le K_{0, r} \coloneqq \sum_{\substack{\alpha\in\mathbb{N}_0^{2d-2m} \\ |\alpha| \le \Upsilon}} \widetilde P_{\alpha, r} (\underbrace{M_0, \dots ,M_0}_{m\text{ раз}})
\end{equation*}
если рассматриваются $\xi$ такие, что $|\text{Im} \xi| < \delta_0$ и при этом $|u(\xi)| < M_0$, а $\widetilde P_{\alpha, r}(u_1, \dots, u_m)$ -- полином с положительными 
коэффициентами, по модулю равным соответствующим коэффициентам полинома $P_{\alpha, r}(u_1, \dots, u_m)$. 
\newline
В таком случае можно определить $K_0$ следующим образом:
\begin{equation}
\label{K0}
 K_0 \coloneqq \sqrt{\sum_{r=1}^d K_{0, r}^2}.
\end{equation}

Следующие вычисления и аппроксимации будут аналогичны описанным в предыдущей главе вплоть до момента вычисления выражений для $\tilde{u}_n$ и $\tilde{f}_n$. 
В случае тривиального действия группы были рассмотрены линейные и билинейные компоненты функции $R(u)$, что позволило легко выписать искомые выражения, 
однако в нашем случае линейности нет.
\newline
Будем рассматривать процесс получения выражений для $\tilde{f}_n$. Получив их, легко получить выражения для $\tilde{u}_n$, вспомнив, что
\begin{equation*}
 \tilde{u}_n = -A\tilde{u}_{n-1} - \tilde{f}_{n-1} \;\;\; \forall \: n \in \mathbb{N}.
\end{equation*}
В свою очередь
\begin{equation*}
 \tilde{f}_n = f^{(n)}(0) \;\;\; \forall \: n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
а $\tilde{f}_0 = g(u(0))$.
Таким образом необходимо установить выражения для функций $f^{(n)}(t), \; t~\in~\mathbb{R}$, а потом получить $\tilde{f}_n$, подставив $t=0$. Для этого необходимо $n$ раз 
продифференцировать функцию $g(u(t))$ по переменной $t$.
Заметим, что после дифференцирования функции вида~(\ref{координатные функции}) по переменной $t$ получится опять функция вида~(\ref{координатные функции}).
Таким образом достаточно понять, как изменится полином
\begin{displaymath}
 P_{\alpha, r}(u_1, \dots, u_m) = P_{\alpha, r}(u_1(t), \dots, u_m(t))
\end{displaymath}
при очередном дифференцировании.
 Необходимую формулу устанавливает следующая теорема:
\begin{myth}
\label{следующая итерация}
Пусть для $n>0$ координатные функции $g^{(n)}(u(t))$ представляются в виде~(\ref{координатные функции}). 
Обозначим за $P^{next}_{\alpha, r}(u_1(t), \dots, u_m(t))$ соответствующие полиномы в разложении координатных функций $g^{(n+1)}(u(t))$.
Тогда будет верна следующая формула:
\begin{equation}
 P_{\alpha, r}^{next}(u_1(t), \dots, u_m(t)) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3 + \Sigma_4 \; \; \forall \alpha \in \mathbb{N}_0^{2d-2m}, \; 1 \le r \le d,
\end{equation}
где
\begin{displaymath}
 \Sigma_1 = \sum_{i=1}^m \left(\frac{d}{du_i}P_{\alpha, r}(u)\right) (-Au)_i,
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
 \Sigma_2 = \sum_{\beta \le \alpha}\sum_{i=1}^m\left(\frac{d}{du_i}P_{\beta, r}(u)\right)\left(-P_{\alpha-\beta, i}(u)\right),
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
 \Sigma_3 = \sum_{i=m+1}^d\left((ch^+_i(\alpha))_{i,1}P_{ch^+_i(\alpha), r}(u) - (ch^-_i(\alpha))_{i,2}P_{ch^-_i(\alpha), r}(u)\right)(-Au)_i,
\end{displaymath}
\begin{align*}
 \Sigma_4 = &\sum_{\beta \le \alpha}\sum_{i=m+1}^d\left((ch^+_i(\beta))_{i,1}P_{(ch^+_i(\beta)), r}(u)\left(-P_{\alpha-\beta, i}(u)\right)\right) -
            \\-&\sum_{\beta \le \alpha}\sum_{i=m+1}^d\left((ch^-_i(\beta))_{i,2}P_{(ch^-_i(\beta)), r}(u)\left(-P_{\alpha-\beta, i}(u)\right)\right),
\end{align*}
где $u=u(t)$, $P_{\alpha, r}(u) \coloneqq P_{\alpha, r}(u_1(t), \dots, u_m(t))$, а функции $ch^+_i(\alpha)$ и $ch^+_i(\alpha)$ действуют из $\mathbb{N}_0^{2d-2m}$ в $\mathbb{N}_0^{2d-2m}$ и задаются следующим образом:
\begin{displaymath}
 ch^+_i(\alpha_1, \dots, \alpha_{2d-2m}) = (\alpha_1, \dots, \alpha_{2(m+1-i)-1} + 1, \alpha_{2(m+1-i)} - 1, \dots \alpha_{2d-2m}),
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
 ch^-_i(\alpha_1, \dots, \alpha_{2d-2m}) = (\alpha_1, \dots, \alpha_{2(m+1-i)-1} - 1, \alpha_{2(m+1-i)} + 1, \dots \alpha_{2d-2m}).
\end{displaymath}
\end{myth}
\begin{proof}[\textbf{Доказательство}]
 Для начала введем следующее обозначение:
 \begin{displaymath}
  \Pi(\alpha, u) \coloneqq \prod_{i = m + 1} ^ {d} \left(\sin(u_i)^{\alpha_{i, 1}} \cos(u_i)^{\alpha_{i, 2}}\right).
 \end{displaymath}

 Теперь продифференцируем одно из слагаемых правой части формулы~(\ref{координатные функции}), вспомнив, что
 \begin{displaymath}
  P_{\alpha, r}(u)\Pi(\alpha, u) = P_{\alpha, r}(u(t)) \Pi(\alpha, u(t)).
 \end{displaymath}
 С помощью правил дифференцирования сложной функции получаем следующее выражение:
 \begin{align}
  \frac{d}{dt}(&P_{\alpha, r}(u)\Pi(\alpha, u)) = \Pi(\alpha, u)\sum_{i=1}^{m}\left(\frac{d}{du_i}P_{\alpha, r}(u)\cdot\frac{d}{dt}u_i\right)  + P_{\alpha, r}(u)\sum_{i=m+1}^{d}\left(\frac{d}{du_i}\Pi(\alpha, u)\cdot\frac{d}{dt}u_i\right)= \nonumber \\
                                          &= \Pi(\alpha, u)\sum_{i=1}^{m}\left[\left(\frac{d}{du_i}P_{\alpha, r}(u)\right)
                                           \left(\left(-Au\right)_i-\sum_{\beta}P_{\beta, i}(u)\Pi(\beta, u)\right)\right] + \label{ск1} \\
                                         &+  P_{\alpha, r}(u)\Pi(\alpha, u)\sum_{i=m+1}^d\left[\left(\alpha_{i,1}\frac{\cos(u_i)}{\sin(u_i)}
                                           -\alpha_{i,2}\frac{\sin(u_i)}{\cos(u_i)}\right)\left((-Au)_i - \sum_{\beta}P_{\beta, i} \Pi(\beta)\right)\right] \label{ск2}
 \end{align}
  Посмотрим, какой полином будет стоять при $\Pi(\alpha)$ после дифференцирования. Для этого необходимо понять, как в результате дифференцирования 
  исходного выражения в результате могут получиться именно такие степени при соответствующих тригонометрических функциях.
  \newline
  Сначала рассмотрим случай, когда $\Pi(\alpha, u)$ напрямую переносится из исходного выражения без домножений на $\Pi(\beta, u)$, где $\beta \in \mathbb{N}_0^{2d-2m}$. В выражении~(\ref{ск1}) производная исходного полинома при $\Pi(\alpha)$ домножается на соответствующий элемент вектора $Au$. 
  Этот факт отражен в выражении $\Sigma_1$.
  \newline
  Заметим, что также на элемент вектора умножается коэффициент при $\Pi(\alpha, u)$ в выражении~(\ref{ск2}), однако в данном случае происходит изменение самого мультииндекса 
  в силу того, что $\cos'(x)=-\sin(x)$, $\sin'(x)=\cos(x)$:
  \begin{displaymath}
   \Pi(\alpha, u) \frac{\cos(u_i)}{\sin(u_i)} = \Pi(ch^-_i(\alpha), u), \;\;\;  \Pi(\alpha, u) \frac{\sin(u_i)}{\cos(u_i)} = \Pi(ch^+_i(\alpha), u),\; \;\;m+1 \le i \le d   .
  \end{displaymath}
  А так как $ch^+_i$ и $ch^-_i$ -- взаимообратные функции, то в коэффициент при $P_{\alpha, r}(u)$ перейдут соответствующие коэффициенты 
  при $\Pi(ch^+_i(\alpha), u)$ и $\Pi(ch^-_i(\alpha), u)$. Эта зависимость отражена в выражении $\Sigma_3$.
  \newline
  Рассмотрим теперь случаи, когда мультииндекс $\alpha$ формируется из двух мультииндексов. Так как
  \begin{displaymath}
   \Pi(\alpha+\beta, u) = \Pi(\alpha, u)\Pi(\beta, u) \;\;\; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^{2d-2m} \; \forall u \in \mathbb{R}^d,
  \end{displaymath}
  то надо перебрать все $\beta \le \alpha$ и перемножить соответствующие коэффициенты при 
  $\beta$ и $\alpha-\beta$ в формулах (\ref{ск1}) и (\ref{ск2}).
   \newline
   В случае формулы (\ref{ск1}) достаточно рассмотреть произведение соответствующих полиномов, это отражено в выражении $\Sigma_2$.
   \newline
   В случае формулы (\ref{ск1}), аналогично тому, как мы рассмотрели получение выражения $\Sigma_3$, необходимо рассмотреть изменения мультииндексов 
   под действием дифференцирования. Несложным образом из этих соображений легко получить выражение $\Sigma_4$. Теорема доказана.
\end{proof}
\begin{myz}
\label{замечание1}
Заметим, что $\max\{|\alpha| \colon \alpha\in \mathbb{N}_0^{2d-2m}, \exists r \colon P_{\alpha, r}(u) \not\equiv 0\}$ возрастает при каждой следующей итерации, если в изначальном уравнении хотя бы один из полиномов 
при ненулевом мультииндексе был ненулевым. Таким образом при реализации алгоритма необходимо каждый раз расширять область рассматриваемых мультииндексов.
\end{myz}
\begin{myz}
Заметим, что выражения $\Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3, \Sigma_4$ легко вычислить с помощью символьных вычислений на компьютере, все что требуется 
-- умножение, сложение и формула дифференцирования для полиномов. 
\end{myz}
Получив выражения для $\tilde{u}_n$ и $\tilde{f}_n$ можно подставить их в формулы (\ref{JJ}) и (\ref{JJJ}) и сформулировать в 
итоге аналог теоремы (\ref{original th}): 
\begin{myth}
 Пусть у динамической системы, порожденной дифференциальным уравнением
 (\ref{исходная система}) с условием (\ref{эквивариантность2}) и группой (\ref{группа}) 
 есть компактный аттрактор $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^d / \Gamma$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ 
 существуют $k$ и $N$ такие, что
 \begin{equation}
 \label{TH}
 \left|Qu_* - \sum_{n=0}^N J_n(u_*)\right| \le \varepsilon, \:\: \forall u_* \in \mathcal{A},
 \end{equation}
 при этом левая часть неравенства является полиномом от переменных $u_1, \dots, u_d,  \sin(u_{m+1}),\\ \cos(u_{m+1}), \dots, \sin(u_{d}), \cos(u_{d})$.
 \end{myth}
 Доказательство теоремы полностью совпадает с доказательством теоремы (\ref{original th}), данным в \cite{article:original}. Проанализировав его, легко заметить, что от функции 
 $g(u(\zeta))$ (а изменилась по сравнению с оригинальной теоремой именно она) требуется только ограниченность на полоске $|\text{Im}(\zeta)|\le\delta_0$, что было показано
 в формуле (\ref{K0}).
 \begin{myz}
  Если рассмотреть в качестве $Q$ проектор на подпространство, натянутое на все собственные вектора матрицы $A$, соответствующие ненулевым собственным числам, 
  полином в левой части неравенста (\ref{TH}) станет полиномом от $u_1, \dots, u_m, \sin(u_{m+1}),\\ \cos(u_{m+1}), \dots, \sin(u_{d}), \cos(u_{d})$, 
  что может упростить вычисление аппроксимаций.
 \end{myz}
 Резюмируя, выпишем итоговый алгоритм получения алгебраческих аппроксимаций аттракторов эквивариантных динамических систем:
 \begin{enumerate}
  \item Привести рассматриваемую систему к виду~(\ref{рассматриваемые функции}) с координатными функциями $g(u)$ в виде~(\ref{координатные функции}).
  \item Выбрать параметры $k, \delta, N$ и $\Lambda$, определив таким образом проектор $Q$.
  \item Реализовать процесс получения выражений для функций $f^{(n)}(t)$ и $u^{n}(t)$, описанный в Теореме~\ref{следующая итерация}, обратив внимание на Замечание~\ref{замечание1}.
  \item Получить выражения для $\tilde{f}_n$ и $\tilde{u}_n$, подставив $t=0$ в функции $f^{(n)}(t)$ и $u^{n}(t)$.
  \item Вычислить $S_n$, где
  \begin{displaymath}
   S_n = (-1)^{n+1}((A+kI)Q)^{-n-1} + e^{-\delta(A+kI)Q}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}\frac{\delta^{n-j}}{(n-j)!}((A+kI)Q)^{-j-1}.
  \end{displaymath}
  \item Вычислить нули тригонометрического полинома 
  \begin{displaymath}
   \sum_{n=0}^{N}S_nQ(\tilde{f}_n - k\tilde{u}_n).
  \end{displaymath}


 \end{enumerate}


\subsection{Результаты экспериментов}
В качестве практического применения данного алгоритма была выбрана следующая система, моделирующая переходные процессы в Джозефсоновских контактах, 
описанная в \cite{article:Jos}:
\begin{equation}
\label{джозефсон}
 \left\{
 \begin{aligned}
 & \dot x=y,\\
 & \dot y = -ay - ax + sin(z),\\
 & \dot z = bx.\\
 \end{aligned}
 \right. 
\end{equation}
В статье \cite{article:Jos} численными методами получено существование атррактора для системы~(\ref{джозефсон}) при $a = 0.1,\; b=1$.
Данную систему можно очевидно интерпретировать как эквивариантную систему с группой
\begin{displaymath}
 \Gamma = \left\{
\begin{pmatrix}
0 \\ 0\\ 2\pi l
\end{pmatrix}
 : l \in \mathbb{Z}\right\},
\end{displaymath}
$d=3$, $m=2$.
Перепишем исходную систему в следующем виде:
\begin{displaymath}
 \begin{pmatrix}
\dot x \\ \dot y\\ \dot z
\end{pmatrix} + 
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\ 0&a&0\\ 0&0&0
\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
x \\ y\\ z
\end{pmatrix} +
 \begin{pmatrix}
x-y \\ ax-sin(z)\\ -bx
\end{pmatrix}=0.
\end{displaymath}
Таким образом
\begin{displaymath}
 A = \begin{pmatrix}
1&0&0 \\ 0&a&0\\ 0&0&0
\end{pmatrix},
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\begin{aligned}
 & g_1(u) = (x-y)\Pi((0,0), u),\\
 & g_2(u) = ax\Pi((0,0), u) + (-1)\Pi((1,0), u),\\
 & g_3(u) = -bx\Pi((0,0), u).\\
 \end{aligned}
\end{displaymath}
Для построения иллюстраций к аппроксимационному процессу была написана программа на языке программирования $Python$, генерирующая с помощью 
библиотеки символьных вычислений $Sympy$ файлы с аппроксимационными полиномами для их загрузки в программу для $MATLAB$, описанную в предыдущей главе.
На рисунках 13-18 представлены результаты работы программы, иллюстрирующие процесс построения алгебраических аппроксимаций при значениях переменных $\Lambda = 0$,\;$k=2$,\;$\delta = 10$.
\begin{figure}[!ph]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/2014/0_.jpg}
\caption{Аппроксимация 1}
\includegraphics[scale=0.45]{images/2014/2_.jpg}
\caption{Аппроксимация 2}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/2014/3_.jpg}
\caption{Аппроксимация 3}
\includegraphics[scale=0.45]{images/2014/4_.jpg}
\caption{Аппроксимация 4}
\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/2014/5_.jpg}
\caption{Аппроксимация 5}
\includegraphics[scale=0.45]{images/2014/6_.jpg}
\caption{Аппроксимация 6}
\end{figure}
% У заключения нет номера главы
\section*{Заключение}
\begin{enumerate}
 \item Показано существование глобального $\mathcal{B}$-аттрактора для эквивариантных систем дифференциальных уравнений, которые 
допускают рассмотрение плоского цилиндра в качестве их фазового пространства.
 \item Перенесен метод Фояша-Темама для построения алгебраических аппроксимаций аттрактора для эквивариантных систем дифференциальных уравнений.
 \item Проведены эксперименты по получению иллюстраций процесса построения алгебраических аппроксимаций атракторов по оригинальному методу Фояша-Темама.
 \item Проведены эксперименты по получению иллюстраций процесса построения алгебраических аппроксимаций атракторов по методу Фояша-Темама, перенесенному на класс систем, заданных на цилиндрическом фазовом пространстве.
\end{enumerate}

\bibliographystyle{ugost2008ls}
\bibliography{diploma.bib}
\end{document}